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如图，设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴的右端点为A，短轴端点分别为B、C，另有抛物线y=x²+b．
（Ⅰ）若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若a=2，过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Q，求

|PQ|

|QB|

的取值范围．

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如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右焦点为F（2，0），过x轴上一点A（3，0）作直线l与椭圆E相交于P，Q两点，且|PQ|的最大值为2

6

．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设

AP

=λ

AQ

（λ＞1），过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M，试问M，F，Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由．

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如图，A，B是椭圆C：

x2

4

+y²=1的左、右顶点，M是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线BM与直线l：x=4分别交于C，D两点．
（Ⅰ）若|CD|=4，求点M的坐标；
（Ⅱ）记△MAB和△MCD的面积分别为S₁和S₂．是否存在实数λ，使得S₁=λS₂？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

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如图所示，离心率为

1

2

的椭圆Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，其中λ为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若点P（1，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN．

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定圆O的直径AB=2R，BC为⊙O的动弦，延长BC至D，使CD=BC，AC与OD交于P，求点P轨迹方程．

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