已知向量

m

=（sin（x+

π

4

），

3

cos（x+

π

4

）），

n

=（sin（x+

π

4

），cos（x-

π

4

）），函数f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称中心坐标；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向下平移

1

2

个单位，再向左平移

π

3

个单位得函数y=g（x）的图象，试写出y=g（x）的解析式并作出它在[-

π

6

，

5π

6

]上的图象．

已知f（x）=丨2x-a丨-a（a∈R），不等式f（x）≤2的解集为{x丨-1≤x≤3}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若丨f（x）-f（x+2）丨≤m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

当a＜0时，函数m（t）=

1

2

at2+t-a的定义域为[

2

，2]，记函数m（t）的最大值为g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）试求满足g(a)＞g(

1

a

)的所有实数a的值．

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，记F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的定义域及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-2m²+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

函数f(x)=

a

x

+lnx，其中a为实常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a=0，设g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，h（n）=

1

23

+

2

32

+

3

43

+…+

n-1

n3

（n≥2，n∈N₊）．是否存在实常数b，既使g（n）-f（n）＞b又使h（n）-f（n+1）＜b对一切n≥2，n∈N₊恒成立？若存在，试找出b的一个值，并证明；若不存在，说明理由．

已知向量

a

=（2，1），

b

=（x，y）
（Ⅰ）若x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，2}，求向量

a

⊥

b

的概率；
（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域Ω：

-1＜x＜1 -2＜y＜2

，求二元数组（x，y）满足x²+y²≥1的概率．

已知数列{a_n}中，a₁=t（t为非零常数），其前n项和为S_n，满足a_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有λa_n＞n（n+1）成立，求实数λ的取值范围．

给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，以此类推．要求计算这50个数的和．先将右面给出的程序框图补充完整，再将与其功能相当的程序语言补充完整，把答案写在下面空格上．
程序语言：


（1） （2）   （3）．

近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．其形成与PM2.5有关．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部于2012年2月29日，发布了《环境空气质量标准》见表：

PM2.5日均值k（微克）	空气质量等级
k≤35	一级
35＜k≤75	二级
k＞75	超标

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据茎叶图如图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）求甲、乙两市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好；
（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级的概率．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，直线y=x-1过椭圆的焦点F₂且与椭圆交于P，Q两点，若△F₁PQ周长为4

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）圆C′：x²+y²=1，直线y=kx+m与圆C′相切且与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点．若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△OAB的取值范围．