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如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=

3

，AA₁=2，E是BB₁的中点，且CE交BC₁于点P，点Q在线段BC上，CQ=2QB．
（1）证明：CC₁∥平面A₁PQ；
（2）若直线BC⊥平面A₁PQ，求二面角A₁-QE-P的大小．

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如图，在三棱锥C-PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．
（Ⅰ）求AN的长；
（Ⅱ）求二面角M-NC-A的余弦值．

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已知离心率为

6

3

的椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与圆C：x²+（y-3）²=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=

π

2

．AC=CB=AA₁=2，E为BB₁的中点，D在AB上，且∠A₁DE=

π

2

．
（Ⅰ）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的正弦值．

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如图，F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为

1

2

．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l₁：x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l₂与圆M交于PQ两点，且 

MP

•

MQ

=-2，求直线l₂的方程．

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