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如图，已知抛物线C：y²=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点
（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=1上，求直线l的方程；
（Ⅱ）若线段|AB|=20，求直线l的方程．

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已知：定点A（-1，0），点B是⊙F：（x-1）²+y²=8（F为圆心）上的动点，线段AB的垂直平分线交BF于点G，记点G的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点A的直线l与曲线E交于P、Q两点．在x轴上是否存在一点M，使得

MP

•

MQ

恒为常数？若存在，求出M点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

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给定曲线Γ：（5-m）x²+（m-2）y²=8，（m∈R）．
（1）若曲线Γ是焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0）的双曲线，求实数m的值；
（2）当m=4时，记M是椭圆Γ上的动点，过椭圆长轴的端点A作AQ∥QM（O为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求

AQ•AP

OM2

的值．

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如图，F₁，F₂是双曲线x²-y²=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．
（Ⅰ）根据条件求出b和k的关系式；
（Ⅱ）当

OA

•

OB

=k2+1时，求直线l的方程；
（Ⅲ）当

OA

•

OB

=m(k2+1)，且满足2≤m≤4时，求△AOB面积的取值范围．

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已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的与双曲线C2：3x2-y2=1有公共渐近线，且过点A（1，0）．
（1）求双曲线C₁的标准方程；
（2）设F₁、F₂分别是双曲线C₁左、右焦点．若P是该双曲线左支上的一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积S．

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