已知F₁（-c，0）、F₂（c，0）是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，点M在椭圆E上．
（Ⅰ）若∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）设直线x=my+c与椭圆E交于P、Q两点，过P、Q两点分别作椭圆E的切线l₁，l₂，且l₁与l₂交于点R，试问：当m变化时，点R是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由．

设非零平面向量

m

，

n

，θ=（

m

，

n

），规定

m

?

n

=|

m

|×|

n

|sinθ．F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点M，N分别是其上的顶点，右顶点，且

OM

?

ON

=6

2

，离心率e=

1

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线交椭圆C于点A，B，求：

OA

?

OB

的取值范围．

设直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=6交于P点．
（1）当直线m过P点且与直线l₀：x-2y=0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点且坐标原点O到直线m的距离为2时，求直线m的方程．

已知F₁、F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F₁P为直径的圆经过F₂，

PF1

•

PF2

=

1

16

a2．直线l经过F₁，与椭圆E交于A、B两点，F₂与A、B两点构成△ABF₂．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设△F₁PF₂的周长为2+

3

，求△ABF₂的面积S的最大值．

如图，设椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，短轴的两个端点分别为A，B，且满足|

F1A

+

F1B

|=|

F2A

-

F2B

|，椭圆C经过点（

2

，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M（

2

3

，0）且斜率为k的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，问：在x轴的正半轴上是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以PQ为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆的对称轴为坐标轴，左、右两个焦点分别为F₁、F₂，且抛物线y²=4

3

x与该椭圆有一个共同的焦点，点P在椭圆C上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|=

7

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设D（

3

2

，0），过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交椭圆C于A、B两点，若以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．

如图所示，已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₂的标准方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；
（Ⅲ）若坐标原点关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁相切，求椭圆C₁的标准方程．

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），若椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，其中N为椭圆的下顶点，求直线在y轴上截距的取值范围．

在学习完统计学知识后，两位同学对所在年级的1200名同学一次数学考试成绩作抽样调查，两位同学采用简单随机抽样方法抽取100名学生的成绩，并将所选的数学成绩制成如统计表，设本次考试的最低期望分数为90分，优等生最低分130分，并且考试成绩分数在[85，90）的学生通过自身努力能达到最低期望分数．
（Ⅰ）求出各分数段的频率并作出频率分布直方图；
（Ⅱ）用所抽学生的成绩在各个分数段的频率表示概率，请估计该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；
（Ⅲ）设考试成绩在[85，90）的学生成绩如下：80，81，83，84，86，89，从分数在[85，90）的学生中抽取2人出来检查数学知识的掌握情况，记所抽取学生中通过自身努力达到最低期望分数的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

分数段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	9	6	12	18	21	16	12	6
频率

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）设A、B是轨迹C上两个不同的点，且OA⊥OB，证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．