椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点P（1，

2

2

）．过坐标原点的直线l₁与l₂均不在坐标轴上，l₁与椭圆M交于A，C两点，l₂与椭圆M交于B，D两点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AP与直线x=2交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且点（

2

，

6

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A，B分别是椭圆C的左右顶点，直线经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，直线AP交于点M，设直线OM，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

已知x、y均为正值，且满足x+2y+xy=7，以x为自变量，试写出关于x函数解析式，并求出定义域．

如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=

1

2

x+n．
（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．

过点P（1，-2）作直线与曲线

x=2 2 cosθ y=2sinθ

（θ为参数）相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=

2

3

，求该直线的方程．

在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，

3

），N（0，-

3

），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．
（1）求轨迹P的方程；
（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l₁：y=kx+b₁与轨迹P相交于A，B两点，若y轴上存在一点Q，使得直线QA，QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；
（3）是否存在不过点E（0，1），且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：x²+（y-1）²=9从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足

.

ED

-

.

EC

=

.

EG

-

.

EF

？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k²的值；若不存在，请说明理由．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距为2

7

，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ=

3

2

．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为-

1

4

，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．

在学习完统计学知识后，两位同学对所在年级的1200名同学一次数学考试成绩作抽样调查，两位同学采用简单随机抽样方法抽取100名学生的成绩，并将所选的数学成绩制成如下统计表，设本次考试的最低期望分数为90分，优等生最低分130分，并且考试成绩分数在[85，90）的学生通过自身努力能达到最低期望分数．
（Ⅰ）求出各分数段的频率并作出频率分布直方图；
（Ⅱ）用所抽学生的成绩在各个分数段的频率表示概率，请估计该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；
（Ⅲ）设考试成绩在[85，90）的学生成绩如下：80，81，83，84，86，89，从分数在[85，90）的学生中抽取2人出来检查数学知识的掌握情况，求恰好有1名学生通过自身努力达到最低期望分数的概率．

分数段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	9	6	12	18	21	16	12	6
频率