如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且的⊙O半径长为3

2

，求BD和FG的长度．

请设计算法框图，要求输入自变量x的值，输出函数f（x）=

-x+1，x≥0 x+3，x＜0

的值．

若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有6S_n=1-2a_n，记bn=log

1

2

an．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，求证：对任意n≥2，n∈N*都有

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

．

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A(0，

2

)，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．
（1）求p的值；
（2）试判断圆C与x轴的位置关系；
（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示． 
每扇门对应的梦想基金：（单位：元）

第一扇门	第二扇门	第三扇门	第四扇门
1000	2000	3000	5000

（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为

4

5

，

3

4

，

2

3

，

1

3

，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是

1

2

，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d）

已知函数f（x）=

sin2x

sinx

+2sinx．
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；
（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+

π

12

）的值．

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-1，-

2

2

)，（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设椭圆M的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线交椭圆M于A，B两点，求△ABF₁面积的最大值．

已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率e=

3

2

，点Q(

2

，

2

2

)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k_OA、k、k_OB成等差数列，点M（1，1），求S_△ABM的最大值．

如图，△ABC的三条角平分线交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，求证：∠BOD=∠COE．

已知曲线C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1和曲线C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1（0＜λ＜1）．曲线C₂的左顶点恰为曲线C₁的左焦点．
（1）求λ的值；
（2）设P（x₀，y₀）为曲线C₂上一点，过点P作直线交曲线C₁于A，C两点，直线OP交曲线C₁于B，D两点，若P为AC中点．
①求证：直线AC的方程为x₀x+2y₀y=2；
②四边形ABCD的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．