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图示是一个几何体的直观图，画出它的三视图．

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在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角为θ（如图2）
（1）若θ=

π

2

，求证：CD⊥AB；
（2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；
（3）若θ=

π

2

，取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得

AP

PB

=

NQ

QD

=λ(λ∈R)．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ₁和θ₂．求sinθ₁+sinθ₂的最大值．

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已知三棱锥P-ABC，∠PAC=∠ABC=90°，PA=AC=2BC，平面PAC⊥平面ABC，D、E分别是PB、PC的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-ED-A的余弦值．

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如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，又∠ACB=120°，AB⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

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在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，若 E为PC的中点，且BE与平面PDC所成的角的正弦值为

2 5

5

，
（1）求CD的长
（2）求证BC⊥平面PBD
（3）设Q为侧棱PC上一点，

PQ

=λ

PC

，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P的大小为45°．

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如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体．
（Ⅰ）求证BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的余弦值．

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