不等式的解集为______.

设，是虚数单位.若复数是纯虚数，则      .

设函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：当时，．

已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；

（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，

求证：线段的长为定值，并求出这个定值．

一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．

(Ⅰ)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；

(Ⅱ)若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

(Ⅲ)记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.

如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.

设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）当时，数列满足，，求数列的通项公式．

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调增区间；

（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，求的面积.

如图，切圆于点，割线经过圆心，，绕点逆时针旋转到，则的长为          .

己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是          .