已知，，为正实数，若，求证：.

在极坐标系中，圆C的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）设与圆C的交点为， 与轴的交点为，求

已知二阶矩阵有特征值，及对应的一个特征向量

，并且对应的变换将点．变换成，求矩阵．

如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，，求证：．

设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，

使得成立，则称数列为“型”数列．

（1）若数列是“型”数列，且，，求；

（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列．

已知函数（）．

（1）当时，求的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

（3）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，

求证：（其中是的导函数）．

某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场．

（1）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；

（2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．

在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦点在圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的三点（异于椭圆的顶点），且存在锐角，使

．

① 求证:直线与的斜率的乘积为定值；

② 求的值．

如图，直角梯形中，∥,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，．

(1)证明;

(2)证明∥平面;

(3)若,求几何体的体积．

在中，角的对边分别为，已知，

且成等比数列．

(1)求的值；

(2)若，求的值．