设为虚数单位，为正整数．

⑴证明：；

⑵结合等式“”证明：

．

如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，∥ＡＥ，，,分别为的中点．

(Ⅰ) 求异面直线与所成角的大小；

(Ⅱ) 求直线和平面所成角的正弦值．

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 (t为参数 )，圆C的参数方程为 (θ为参数)．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．

已知函数，其中为实常数.

⑴若在上恒成立，求的取值范围；

⑵已知，是函数图象上两点，若在点处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；

    ⑶设定义在区间上的函数在点处的切线方程为，当时，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”．试问函数是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

已知数列{a_n}的首项a₁＝2，且对任意n∈N^*，都有a_n＋1＝ba_n＋c，其中b，c是常数．

⑴若数列{a_n}是等差数列，且c＝2，求数列{a_n}的通项公式；

⑵若数列{a_n}是等比数列，且|b|＜1，当从数列{a_n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{a_n}的前n项和S_n＜成立的n的取值集合．

如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M．

⑴求椭圆T与圆O的方程；

⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．

①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；

②若，求与的方程．

    北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

    ⑴据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

    ⑵为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．

⑴若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；

⑵求三棱锥P﹣ACE的体积．

已知向量，向量，函数．

⑴求的最小正周期；

⑵已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和．