科目： 来源：2014-2015学年江苏省常州市高三上学期期末调研测试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本小题满分16分）已知
为实数，函数
，函数
．
（1）当
时，令
，求函数
的极值；
（2）当
时，令
，是否存在实数
，使得对于函数
定义域中的任意实数
，均存在实数
，有
成立，若存在，求出实数
的取值集合；若不存在，请说明理由．
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选修4—1：几何证明选讲
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是
的平分线，
是下半圆的中点.求证：直线PC经过点
.
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选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵
满足：
，其中
是互不相等的实常数，
，是非零的平面列向量，
，
，求矩阵
.
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选修4—4：坐标系与参数方程
已知两个动点
，
分别在两条直线
和
上运动，且它们的横坐标分别为角
的正弦，余弦，
.记
，求动点
的轨迹的普通方程.
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(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的
五种商品有购买意向.已知该网民购买
两种商品的概率均为
，购买
两种商品的概率均为
，购买
种商品的概率为
.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
（1）求该网民至少购买4种商品的概率；
（2）用随机变量
表示该网民购买商品的种数，求
的概率分布和数学期望.
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（本小题满分10分）设
个正数
满足
（
且
）．
（1）当
时，证明：
；
（2）当
时，不等式
也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
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，证明：
.
，
，则
= ．
（
，i为虚数单位），若
，则
的值为 ．
的离心率为
，则实数a的值为 ．