（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在面中，，，为的中点，过三点的平面交于点．

（1）求证：为中点；

（2）求证：平面平面．

（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．

（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：为定值；

（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．

（本小题满分16分）

已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，．

（1）若，．

①当时，求数列和的通项公式；

②若数列是唯一的，求的值；

（2）若，，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值．

（本小题满分16分）设函数有且仅有两个极值点．

（1）求实数的取值范围；

（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由．

（选修4－1：几何证明选讲）

如图，AD是∠BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EF∥BC．

（选修4－2：矩阵与变换）

已知，求矩阵．

（选修4－4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．

（1）求圆的极坐标方程；

（2）求圆被直线所截得的弦长．

（选修4－5：不等式选讲）

设正数满足，求的最小值．

（本小题满分10分）直三棱柱中，已知，，，. 是的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.