三棱锥A ­ BCD及其侧视图、俯视图如图1­4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

(1)证明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

图1­4

如图1­5，三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AB⊥B₁C.

图1­5

(1)证明：AC＝AB₁；

(2)若AC⊥AB₁，∠CBB₁＝60°，AB＝BC，求二面角A ­A₁B₁ ­C₁的余弦值．

如图1­5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．

(1)求证：EF⊥BC；

(2)求二面角E­BF­C的正弦值．

图1­5

 如图1­6，四棱锥P ­ ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

图1­6

(1)求证：AB⊥PD.

(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ­ ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

 如图1­6所示，四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．

(1)证明：O₁O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C₁­OB₁­D的余弦值．

图1­6

在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1­5所示．

(1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

图1­5

三棱锥A ­ BCD及其侧视图、俯视图如图1­4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

(1)证明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

图1­4

如图1­3所示，在四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．

图1­3

(1)求证：C₁M∥平面A₁ADD₁；

(2)若CD₁垂直于平面ABCD且CD₁＝，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．

如图1­3，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D­AE­C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E­ACD的体积．

图1­3

如图1­4，在棱长为2的正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A₁B₁，A₁D₁的中点，点P，Q分别在棱DD₁，BB₁上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC₁∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

图1­4