如图1­5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．

(1)求证：EF⊥BC；

(2)求二面角E­BF­C的正弦值．

图1­5

如图1­6，四棱锥P ­ ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

图1­6

(1)求证：AB⊥PD.

(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ­ ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

如图1­6所示，四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．

(1)证明：O₁O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C₁­OB₁­D的余弦值．

图1­6

在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1­5所示．

(1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

图1­5

如图1­3，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P ­ ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.

(1)求证：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

图1­3

 如图1­5，四棱柱ABCD ­ A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A₁，C，D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q.

图1­5

(1)证明：Q为BB₁的中点；

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

(3)若AA₁＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

如图1­4，在棱长为2的正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A₁B₁，A₁D₁的中点，点P，Q分别在棱DD₁，BB₁上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC₁∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

图1­4

如图1­3，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D­AE­C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E­ACD的体积．

图1­3

如图1­3所示，四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.

(1)求PO的长；

(2)求二面角A­PM­C的正弦值．

图1­3

 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)

A．(－1，1，0)  B．(1，－1，0) 

C．(0，－1，1)  D．(－1，0，1)