科目： 来源：广西自治区模拟题 题型：解答题

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=。

（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小。

科目： 来源：贵州省模拟题 题型：解答题

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

科目： 来源：0128 模拟题 题型：解答题

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，
（1）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值。

科目： 来源：0128 模拟题 题型：解答题

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B为直二面角。

（1）若F、G分别为A′D、EB的中点，求证：FG∥平面A′BC；
（2）求二面角D-A′B-C的余弦值。

科目： 来源：模拟题 题型：解答题

如图，已知在直三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB= AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点。

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的余弦值。

科目： 来源：模拟题 题型：证明题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.

科目： 来源：模拟题 题型：解答题

如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFCH分别交 AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H。

（1）判定四边形EFCH的形状，并说明理由；
（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFCH？请给出证明。

科目： 来源：0128 模拟题 题型：解答题

已知如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。

（1）求证：DE⊥PC；
（2）当PA//平面EDB时，求二面角E-BD-C的正切值。

科目： 来源：0127 模拟题 题型：解答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点。

（1）求证：BE//平面PAD；
（2）若AB=1，PA=2，求三棱锥E-DBC的体积。

科目： 来源：安徽省模拟题 题型：解答题

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC= BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分别为DE、AB的中点。

（1）求证：PQ∥平面ACD；
（2）求几何体B-ADE的体积。