若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为___________.

观察下列各式：

照此规律，当时，___________.

已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意实数，的最小值为____________.

设关于不等式的解集中整数的个数为，数列的前项和为，则满足条件，的常数的最小整数为_____________.

已知函数.

（1）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；

（2）已知中，角的对边分别为，若，求实数的取值范围.

某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示：

且的期望；若投资乙项目一年后可获得的利润（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为和.若乙项目产品价格一年内调整次数（次数）与的关系如下表所示：

（1）求的值；

（2）求的分布列；

（3）若，则选择投资乙项目，求此时的取值范围.

如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足且，点为的中点，点为边上的动点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由.

已知抛物线和的焦点分别为交于两点（为坐标原点）且.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交的下半部分与点，交的左部分于点，点的坐标为，求面积的最小值.

设函数.

（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）若，试比较当时，与的大小；

（3）证明：对任意的正整数，不等式成立.

如图，内切于，切点分别为点，连接交于点，直线交的延长线于点.

（1）求证：圆心在直线上；

（2）求证：点是线段的中点.