设数列满足，则的值为 .

已知函数（为的导函数）.若方程有四个不等的实根，则的取值范围是 .

如图，矩形的边在轴上，顶点在函数的图像上.记，则的最大值为 .

在平面直角坐标系中，圆，圆，若圆 上存在点满足：过点向圆作两条切线切点为，的面积为1，则正数的取值范围是 .

已知是锐角三角形，向量，且.

（1）求的值；

（2）若，求的长.

如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点.

（1）若直线的斜率为，求的值；

（2）若，求实数的取值范围.

某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口.

（1）若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；

（2）若四根木条总长为，求窗口面积的最大值.

已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前项和，.

（1）若，求的值；

（2）若是公比为的等比数列，求证：存在实数，使得为等比数列；

（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：成等差数列的充要条件是.

设函数（，其中是自然对数的底数）.

（1）当时，求的极值；

（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数在区间上有两个零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.