14．设椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左.右焦点分别为F1.F2.上顶点为A.过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q.且F1是线段QF2的中点.若——青夏教育精英家教网—

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科目： 来源： 题型：解答题

14．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F₁是线段QF₂的中点，若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点，且|MG|＞|MH|．若实数λ满足$\overrightarrow{MG}=λ\overrightarrow{MH}$，求λ+$\frac{1}{λ}$的取值范围．

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13．

设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F₁恰是QF₂的中点．若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁：y=x+2与椭圆C交于G、H两点．在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

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12．在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=$\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足四边形MF₁NF₂是平行四边形，直线l∥MN，且与C₁交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l的方程．

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11．在△ABC外，分别以AC、BC、AB为边作正方形，得到三个正方形的面积依次为S₁、S₂、S₃，若S₁+S₂=S₃=8，则△ABC的面积最大值是（　　）

A．

B．

$\sqrt{2}$

C．

D．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦点分别为F₁、F₂，点$P（2，\sqrt{3}）$，且F₂在线段PF₁的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F₂为椭圆的右焦点，求证：直线DF₂与直线EF₂的斜率之和为定值．

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9．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂，过右焦点F₂的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF₁的周长为短轴长的2$\sqrt{3}$倍．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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8．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设不过原点O的直线与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

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7．已知A、B分别是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右顶点，离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点与抛物线y²=4x的焦点F重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线l于点Q，证明：Q、P、B三点共线．

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6．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（　　）

A．

8＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜16

B．

4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8

C．

3＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜4

D．

2＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜3

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