19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，若动点A在椭圆C上，动点B在直线y=$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$上．（c为椭圆的半焦距）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB（O为坐标原点），试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．

18．已知a、b、c都是正数，求证：
（I）$\frac{{b}^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$≥a十b+c；
（2）2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$≤3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）

17．设点P是圆x²+y²=4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MD}$，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

16．已知点M（-3，0），N（3，0），B（2，0），动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线交于点P，则P的轨迹方程为（　　）

A．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＜-2）

B．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞2）

C．

$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞0）

D．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞0）

15．设a，b，c为正数，且a²+b²+c²=1，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3．

14．某著名歌星在某地举办一次歌友会，有1000人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个实数x，y（x，y∈[0，4]），若满足y≥$\frac{8}{5}x$，电脑显示“中奖”，则抽奖者再次获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不获得特等奖奖金．
（Ⅰ）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，小李是此次活动的顾客，求小李参加此次活动获益的期望；若该歌友会组织者在此次活动中获益的期望值是至少获得70000元，求a的最大值．

13．求证：$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1（n＞1，n∈N^*）

12．设a，b，c是正实数，且a²+b²+c²+abc=4，证明：a+b+c≤3．

11．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（Ⅰ）求ab的最大值；
（Ⅱ）求证：$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}{b}}）≥\frac{25}{4}$．

10．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，选手选择继续闯关的概率均为$\frac{1}{2}$，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．