20．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}\right.$被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（f（x））=0；                  
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．
其中正确命题的序号有②③④．

19．已知函数f（x）=（3x+1）e^x+1+mx（m≥-4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（　　）

A．

（$\frac{5}{e}$，2]

B．

[-$\frac{5}{2e}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）

C．

[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）

D．

[-4e，-$\frac{5}{2e}$）

18．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长等于圆C₂：x²+y²=8的直径，左顶点到直线l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1的距离为$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，点N为原点关于椭圆C₁的上顶点的对称点．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）过点M（0，m）任作一条直线y=kx+m（k≠0）与椭圆C₁相交于A、B两点，连接AN，BN，试问：是否存在实数m，使得$\overrightarrow{NM}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{NA}}}{{|{\overrightarrow{NA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{NB}}}{{|{\overrightarrow{NB}}|}}$）成立，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

17．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=cos$\frac{π}{2}$x；
②f（x）=x²-1；
③f（x）=|2^x-1|；
④f（x）=log₂（x-1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③（请写出所有正确结论的序号）．

16．已知平面区域P：$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥1\\ x-y+3≥0\end{array}$．设圆C：（x-a）²+（y-b）²=2，若圆心C∈P且圆C与直线x+y-7=0相切，则z=2a-b的最大值为15．

15．如图，F₁，F₂是椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$（e为椭圆的离心率）的最小值为（　　）

A．

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

D．

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

14．椭圆（m+1）x²+my²=1的长轴长是（　　）

A．

$\frac{2\sqrt{m-1}}{m-1}$

B．

$\frac{-2\sqrt{-m}}{m}$

C．

$\frac{2\sqrt{m}}{m}$

D．

-$\frac{2\sqrt{1-m}}{m-1}$

13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线y=x被椭圆C截得的线段长为$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．
（ I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线l是圆O：x²+y²=r²的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．

12．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≥0\\ x+y-3≤0\\ x+3y-3≥0\end{array}\right.$，则由点（x，y）组成的平面区域的面积为2，z=2x-y+2-|x+y|的取值范围是（-1，5）．

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．