15．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4．
（Ⅰ）求出曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂相交于A，B两点，求线段AB的长．

14．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表

上网时间（分钟）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人数	5	25	30	25	15

表2：女生上网时间与频数分布表

上网时间（分钟）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人数	10	20	40	20	10

（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；
（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
表3

	上网时间少于60分钟	上网时间不少于60分钟	合计
男生
女生
合计

附：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（k2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.076	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

13．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{a}$x+a有唯一实根，求（1+lna）a²的值；
（Ⅱ）若过原点作曲线y=f（x）的切线l与直线y=-ex+1垂直，证明：$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（Ⅲ）设g（x）=f（x+1）+e^x，当x≥0时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

12．已知函数f（x）=-x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2x+2a，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

11．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表

	使用智能手机	不使用智能手机	合计
学习成绩优秀	4	8	12
学习成绩不优秀	16	2	18
合计	20	10	30

附表：

p（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

经计算K²=10，则下列选项正确的是：（　　）

	A．	有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
	B．	有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
	C．	有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
	D．	有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

10．如图是求x₁，x₂…x₁₀的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（　　）

A．

S=S×（n+1）

B．

S=S×xn+1

C．

S=S×n

D．

S=S×xn

9．（普通班做）直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}$（t是参数）被圆x²+y²=9截得的弦长等于（　　）

A．

$\frac{12}{5}$

B．

$\frac{{9\sqrt{10}}}{5}$

C．

$\frac{{9\sqrt{2}}}{5}$

D．

$\frac{{12\sqrt{5}}}{5}$

8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）直线D₁C与平面AC所成的角；
（2）直线D₁B与平面AC所成的角的余弦值．

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD都是边长为1的正三角形，DC=2，E为DC的中点．
（I）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求直线PE与平面PDB所成角的大小．

6．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，设P为曲线C₁上的动点，当点C₁到曲线C₂上点的距离最小时，点P的直角坐标为$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．