13．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	重度污染
天数	6	14	18	27	20	15

（Ⅰ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{4x-400，100＜x≤3000}\\{2000，x＞300}\end{array}$，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；
（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？

	非严重污染	严重污染	合计
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合计	85	15	100

附：参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

12．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB=2a，AE=CF=λAA₁（0＜λ＜1），
（1）试在BC上找一点P，使得A₁B∥面PEF；
（2）在（1）的条件下，当λ为何值时，四面体BPFE的体积最大？
（3）在（2）的条件下，求面PEF与底面ABC所成的锐二面角的正切值．

11．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在C₁C上，且C₁E=3EC．
（1）证明A₁C⊥平面BED；
（2）求平面A₁DE与平面BDE的夹角余弦值．

10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且 PA⊥面ABCD，PA∥BE，PA=3BE．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）若直线PC与平面ABCD所成角为60°，求二面角E-PC-A的余弦值的大小．

9．如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证AE⊥平面BCE；
（2）设$\frac{AE}{EB}=λ$，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

8．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位年人，结果如下：

性别 是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99%的把握认为该区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）在需要提供服务的老年人中按分层抽样抽取7人组成特别护理组，现从特别护理组中抽取2人参加某机构组织的健康讲座，求抽取的两人恰是一男一女的概率．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

7．如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，$AC=\sqrt{2}$．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）求二面角B-AD-C的正切值．

6．在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，SB=2$\sqrt{2}$．
（1）求三棱锥S-ABC的体积；
（2）证明：BC⊥SC；
（3）求二面角C-SA-B的大小．

5．已知过椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的下焦点F的直线l的方程为y=-$\sqrt{2}$．
（1）若直线l是顶点在原点的抛物线的准线，求该抛物线的标准方程；
（2）若直线l和椭圆相交所得弦长为2，求椭圆方程．

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点$（\sqrt{2}，1）$，直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，MN中点为P，O为坐标原点，直线OP斜率为$-\frac{1}{2k}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，当△AMN得面积为$\frac{\sqrt{10}}{3}$时，求k的值．