12．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{EC}=0$，求k的值．

11．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₁的左、右焦点分别为F₁、F₂，若直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（i）求点M的轨迹C₂的方程；
（ii）过点F₂作两条相互垂直的直线交曲线C₂于A、C、B、D，求四边形ABCD面积的最小值．

10．如图，以${{F}_1}（{-\sqrt{3}，0}）$、${{F}_2}（{\sqrt{3}，0}）$为焦点的椭圆C与以原点O为圆心，F₁F₂为直径的圆在第一象限的交点的纵坐标为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆与y轴正半轴交点的直线l交椭圆于A、B两点，若△OAB面积的最小值为$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，试求直线l的斜率k的取值范围．

9．点F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$），动点M到点F₂的距离是4，线段MF₁的中垂线交MF₂于点P．
（1）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；
（2）若斜率为$\sqrt{2}$的动直线l与轨迹G相交于A、B两点，Q（1，$\sqrt{2}$）为定点，求△QAB面积的最大值．

8．已知动点P到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于到定点C（$\frac{1}{2}$，0）的距离．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若在y轴上截距为2的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，O为坐标原点，且以MN为直径的圆过原点，求直线l的方程．

7．已知函数f（x）=e^2π-x+sinx，x∈[π，2π]，g（x）=${π}^{2x-e}+ln\frac{x}{e}$．x∈（0，e]．
（1）若存在实数x₀∈[π，2π]使得a≤f（x₀）成立．对任意的实数x∈（0，e]，b≥g（x）成立，求α的最大值u，b的最小值v；
（2）试比较u与v的大小，并说明理由．

6．设f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a为正实数．
（1）当a=$\frac{16}{15}$时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求实数a的取值范围．

5．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C₁交于M，N两点．
（I）是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若AB是椭圆C₁经过原点O的弦，且MN∥AB，求证：$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$为定值．

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆上的点到直线$x=-\frac{{5\sqrt{5}}}{2}$的距离的最大值为$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，倾斜角为45°的直线l交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点M（4，1），当直线l不过点M时，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

3．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（1）若椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且焦点在x轴上、短半轴长为b的椭圆C_b的标准方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围；
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和
M_λ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=λ²（a＞bo，0＜λ＜1）分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆M_λ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）