3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F₁，F₂是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F₁和F₂，求这个平行四边形的面积最大值．

2．已知函数f（x）=lnx+1．
（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）≤x；
（Ⅱ）设$g（x）=ax+（{a-1}）•\frac{1}{x}-lnx-1$，若g（x）≥0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．

1．设函数f（x）=ae^x-x-1，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞$\frac{x}{2}$．

20．设S_4k=a₁+a₂+…+a_4k（k∈N^*），其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S_4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a₁，a₂，…，a_4k的个数记为m（b）．
（1）当k=2时，求m（1）的值；
（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．

19．把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD叠放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，易知：AF=CE，AF⊥CE．（如图1）（不要证明）
（1）将图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜45），连接AF，CE，（如图2），试证明：AF=CE，AF⊥CE．
猜想与发现：
（2）将图2中的直角三角板BEF绕点B顺时针继续旋转，使BF落在BC边上，连接AF，CE，（如图3），点M，N分别为AF，CE的中点，连接MB，BN．
①MB，BN的数量关系是相等；
②MB，BN的位置关系是垂直．
变式与探究：
（3）图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转180°，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN，（如图4），MA，MN的数量关系、位置关系又如何？为什么？

18．已知函数f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；
（2）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，f（x）＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

17．如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G．
（Ⅰ）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（Ⅱ）连结FG，设α=45°，AB=4$\sqrt{2}$，AF=3，求FG长．

16．证明：任意五个连续的整数的平方和不是完全平方数．

15．已知直线ax-y-1=0与圆x²+y²+2x+2by-4=0相交于A、B两点，若线段AB中点为（1，1），则a、b的值分别为（　　）

A．

-1，1

B．

-1，-1

C．

2，-2

D．

2，2

14．已知f（x）=|2x-3|+ax-6（a是常数，a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．