10．已知两定点$M（-\sqrt{6}，0），N（\sqrt{6}，0）$，动点P满足$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点R满足$\overrightarrow{PR}=（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{RQ}$，点R的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与x轴交于点E，与曲线C交于A、B两点，是否存在点E，使得$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

9．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．
（2）求三棱锥C-B₁D₁F的体积．

8．已知中心在原点的椭圆Γ₁和抛物线Γ₂有相同的焦点（1，0），椭圆Γ₁的离心率为$\frac{1}{2}$，抛物线Γ₂的顶点为原点．
（Ⅰ） 求椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程；
（Ⅱ） 设点P为抛物线Γ₂准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ₂的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．

7．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足4S_n=a_n+1²-4n-1，n∈N^*，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

6．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为常数）在x=ln2处取得极值．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当x＞0时，e^x＞x²+1；
（3）证明：当n∈N^*时，1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$＞ln$\frac{（n+1）^{3}}{（3e）^{n}}$．

5．已知f（x）=sin（2x+φ），若$f（\frac{π}{3}）=0$，则函数f（x）图象的一条对称轴直线是（　　）

A．

$x=\frac{π}{3}$

B．

$x=\frac{2π}{3}$

C．

$x=\frac{5π}{12}$

D．

$x=\frac{7π}{12}$

4．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为$4（\sqrt{2}+1）$．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）探究$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知
曲线C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t为参数）．
（I）写出C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）设C₁和C₂的交点为P，求点P在直角坐标系中的坐标．

2．设A、B分别是直线y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x和y=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x上的动点，且|AB|=$\sqrt{2}$，设O为坐标原点，动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点（$\sqrt{3}$，0）做两条相互垂直的直线l₁，l₂，直线l₁，l₂与点P的轨迹相交弦分别为CD、EF，设CD、EF的弦中点分别为M、N，求证：直线MN恒过一个定点．

1．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（1）求椭圆的方程
（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=8，求k的值．