10．设椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点为F.离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.过点F且与x轴——青夏教育精英家教网—

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10．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，-$\frac{1}{4}$），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．

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9．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂的坐标为（c，0），若b=c，且点（c，1）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）当k≠0时，若直线l₁：y=k（x+$\sqrt{2}$）与椭圆r的交点为A，B；直线l₂：y=k（$\sqrt{2}$x+1）与圆E：x²+y²=1的交点为M，N，记△AOB和△MON的面积分别为S₁，S₂，其中O为坐标原点，证明$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$为定值，并求出该定值．

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8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A．

[$\frac{1}{2}$，1）

B．

[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

C．

[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

D．

（1，$\frac{3}{2}$]

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7．已知F₁，F₂为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l₁，l₂分别交椭圆E于A，C和B，D，且l₁⊥l₂，问是否存在常数λ，使得$\frac{1}{|AC|}$，λ，$\frac{1}{|BD|}$成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

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6．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．

$（{0，\frac{1}{e}}）$

B．

$（{\frac{lg2}{2}，\frac{lge}{e}}）$

C．

$（{\frac{lg2}{2}，e}）$

D．

$（{0，\frac{lg2}{2}}）$

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5．已知抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（　　）

A．

$\sqrt{3}$-1

B．

$\sqrt{2}$-1

C．

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

D．

$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$

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4．已知命题p：?x∈R，x+|x-a|＞3恒成立，命题q：函数f（x）=lg[-x²+（a-2）x+2a]在区间（1，2）上单调递减．
（1）若p∨（￢q）是假命题，求实数a的取值集合A；
（2）设函数g（x）=4^x-m•2^x+25，在（1）的前提下，当x∈A时，关于x的方程g（x）=0只有一个实根，求实数m的取值范围．

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3．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．
①当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，S为四边形
②截面在底面上投影面积恒为定值$\frac{3}{4}$
③存在某个位置，使得截面S与平面A₁BD垂直
④当CQ=$\frac{3}{4}$时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=$\frac{1}{3}$
其中正确命题的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

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2．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间
（2）设a=-1，求证：当x∈（1，+∞）时，f（x）+2＞0
（3）求证：$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N₊且n≥2）

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1．公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₅=15，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$，证明：b_n＜2．

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