1．已知椭圆E的中心在坐标原点O，它的长轴长，短轴长分别为2a，2$\sqrt{2}$，右焦点F（c，0），直线l：cx-a²=0与x轴相交于点A，$\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{FA}$，过点A的直线m与椭圆E交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以线段PQ为直径的圆过原点O，求直线m的方程；
（Ⅲ）设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AQ}（{λ＞1}）$，过点P且平行于直线l的直线与椭圆E相交于另一点M，求证：$\overrightarrow{FM}=-λ\overrightarrow{FQ}$．

20．已知函数$f（x）=a（{x-\frac{1}{x}}）-2lnx，a∈R$．
（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

19．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18．已知双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$两个焦点为分别为${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$，过点F₂的直线l与该双曲线的右支交于M、N两点，且△F₁MN是等边三角形，则以点F₂为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为（　　）

A．

${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=2$

B．

${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=4$

C．

${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=1$

D．

${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=\frac{3}{5}$

17．下列四个命题：
①“a^x＜a^y（0＜a＜1）”成立的充要条件是“ln（x²+1）＞ln（y²+1）”；
②命题“若x＞y，则-x＜-y”的逆否命题是“若-x＞-y，则x＜y”；
③设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是任意两个向量，则“$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$”是“$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$”的充分不必要条件；
④把函数y=sin（-2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移$\frac{π}{8}$个单位即可得到函数$y=sin（{-2x+\frac{π}{4}}）$（x∈R）的图象．
其中正确命题的个数是（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

4

16．已知点P的极坐标是$（1，\frac{π}{3}）$，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（　　）

A．

ρ=1

B．

ρ=cosθ

C．

$ρ=-\frac{1}{cosθ}$

D．

$ρ=\frac{1}{2cosθ}$

15．设S_n为公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和，若S₅=7a₄，则$\frac{{3{S_7}}}{a_3}$=（　　）

A．

15

B．

17

C．

19

D．

21

14．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x＜2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，则z=2x-2y-3的取值范围是（　　）

A．

[-$\frac{1}{3}$，3]

B．

[-2，3]

C．

[-$\frac{1}{3}$，3）

D．

$[-\frac{11}{3}，3）$

13．己知$\frac{a+i}{2i}=\frac{1}{4}b+\frac{1}{2}i（a，b∈R）$．其中i为虚数单位，则a+b=（　　）

A．

-1

B．

1

C．

2

D．

3

12．已知数列{a_n}，a₁=1，${a_n}=2{a_{n-1}}+1（{n≥2，n∈{N^*}}）$．
（1）证明{a_n+1}是等比数列．
（2）若${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{（{{a_n}+2}）（{{a_n}+3}）}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）证明$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}＜\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}（{n∈{N^*}}）$．