5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左顶点为A（-3，0），左焦点恰为圆x²+2x+y²+m=0（m∈R）的圆心M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值．

4．已知函数f（x）=lnx-x-lna（x＞0），其中a＞0
（1）求函数h（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+（a-1）lnx的单调递增区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求实数a的取值范围，并证明$\frac{x_2}{x_1}$随a的增大而减小．

3．已知离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为（　　）

A．

2$\sqrt{2}$

B．

3

C．

4

D．

5

2．阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²，直线l：x-2y+4=0与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{4}{3}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{3}{2}$

1．已知数列{x_n}满足x_n+1=x_n²+x_n，x₁=a（a≠1），数列{y_n}满足y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$，设p_n=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，S_n为{y_n}的前n项和，求证：aS_n+p_n=1．

20．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}{b}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），向量$\overrightarrow{b}$=（$\frac{{x}_{2}}{b}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$），若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，且椭圆的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）△AOB的面积是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

19．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四个顶点分别是A₁，A₂，B₁，B₂，△A₂B₁B₂是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，其内切圆为圆G．
（1）求椭圆C及圆G的标准方程；
（2）若点D是椭圆C上第一象限内的动点，直线B₁D交线段A₂B₂于点E．
（i）求$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$的最大值；
（ii）设F（-1，0），是否存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．

18．已知三次函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²-6x+1（x∈R），a，b为实数．
（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，若b∈[1，3]，求g（1）的取值范围．

17．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₇=4，a₁₉=2a₉，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足${4}^{{2a}_{n}-1}$=λT_n-（a₅-1）（n∈N^*）
（1）问是否存在非零实数λ，使得数列{b_n}为等比数列？并说明理由；
（2）已知对于n∈N^*，不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜M恒成立，求实数M的最小值．

16．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．