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    科目： 来源： 题型：解答题

    15．各项为正的数列{an}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{a_n^2}{λ}+{a_n}，（n∈{N^*}）$，
    （1）取λ=an+1，求证：数列$\left\{{\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}}\right\}$是等比数列，并求其公比；
    （2）取λ=2时令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}+2}}$，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值．

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    科目： 来源： 题型：解答题

    14．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
    （1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
    （2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

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    科目： 来源： 题型：填空题

    13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=13，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$|≤12，则$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影长度的取值范围是$[\frac{5}{13}，1]$．

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    科目： 来源： 题型：填空题

    12．函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）-sin2x（x∈R）的最大值是．

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    科目： 来源： 题型：填空题

    11．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+1（x≥1）\\ lo{g_2}（1-x）（x＜1）\end{array}\right.$，则f（f（4））=5；若f（a）=-1，则a=1或$\frac{1}{2}$．

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    科目： 来源： 题型：选择题

    10．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，它的最小正周期为π，则（　　）
    A．f（x）的图象过点$（0，\frac{1}{2}）$B．f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数
    C．f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$D．f（x）的一个对称中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$

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    科目： 来源： 题型：解答题

    9．如图，抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，过抛物线E上的动点p作PD⊥l于点D．当∠DPF=$\frac{2π}{3}$时，|PF|=4．
    （Ⅰ）求抛物线E的方程；
    （Ⅱ）过点P作直线m⊥DF，求直线m与抛物线E的交点个数；
    （Ⅲ）点C是△DPF的外心，是否存在点P，使得△CDP的面积最小．若存在，请求出面积的最小值及P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目： 来源： 题型：解答题

    8．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．

    （Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；
    （Ⅱ）当三棱锥B-GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．

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    科目： 来源： 题型：解答题

    7．已知函数f（x）=$\frac{a}{x^2}$+lnx．
    （1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为$\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间；
    （2）若f（x）=0在[e-2，e2]上恰有两个实根，且$\sqrt{a}$-a＞$\frac{{{m^2}-3m+\sqrt{2}{e^2}}}{e^4}$恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目： 来源： 题型：解答题

    6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆（x-2）2+（y-2）2=$\frac{1}{2}$相切．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）设过椭圆右焦点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于点A，B，与y轴交于点C，且AB中点与FC的中点重合，求△AOB（O为坐标原点）的面积．

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