4．已知F是抛物线C：y²=2px的焦点，M、N是抛物线C上两个动点，OM，ON的倾斜角分别为θ₁、θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，求证：MN过定点．

3．如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点．
（1）设侧面ABC与底面BCD所成角为α，求tanα．
（2）设CE与底面BCD所成角为β，求cosβ．
（3）在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90°，若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由．

2．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞a，求a的取值范围．

1．椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上有两点P，Q，O为原点，连OP，OQ，P，Q中点为M，OP，OQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，求点M的轨迹E的方程．

20．已知a，b∈R，那么a²＞b²是|a|＞b的（　　）

	A．	充分而不必要条件		B．	必要而不充分条件
	C．	充要条件		D．	既不充分也不必要条件

19．经过点P（1，0），斜率为$\frac{3}{4}$的直线和抛物线y²=x交于A、B两点，若线段AB中的点为M，则M的坐标为（$\frac{17}{9}$，$\frac{2}{3}$）．

18．8人排成一排照相，分别求下列条件下的照相方式种数
（1）其中甲、乙相邻，丙、丁相邻；
（2）其中甲、乙不相邻，丙、丁不相邻．
（要求写出解答过程，并用数字作答）

17．已知函数f（x）=mx+2，g（x）=x²+2x+m，若存在整数a，b，使得a≤f（x）-g（x）≤b的解集恰好是[a，b]，则a-b的值为．-2．

16．已知直线l₁：y=k（x-1）与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于M、N两点，点P是线段MN的中点，且直线OP的斜率为-$\frac{3}{4k}$（k∈R，k≠0），其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C的焦距为2c=2，AB是直线l₂：y=kx与椭圆C相交所得的弦，试判断$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

15．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．
（1）已知点$P（{1，\frac{1}{2}}）$，求使△PAB面积为$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$时，椭圆$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1的直径AB所在的直线方程；
（2）若过椭圆$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1的中心作斜率为k的直线交椭圆于M，N两点，且椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以M为圆心，|MF₂|长度为半径作⊙M，问是否存在定圆⊙R，使得⊙M恒与⊙R相切？若存在，求出⊙R的方程．若不存在，请说明理由．
（3）定理：若过圆x²+y²=1的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值-1．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．