3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，四个顶点所围成的菱形的面积为8$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+m与椭圆C交于两个不同的点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），O为坐标原点，且k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$，求y₁y₂的取值范围．

2．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设直线l₁；y=x+m₁与椭圆交于A、B两点，直线l₂：y=x+m²与椭圆交于C、D两点，若四边形ABCD是平行四边形，求四边形ABCD的面积的最大值．

1．设P为任意一点，给定直线a和平面α，给出以下四个命题：
①过点P有且只有一条直线和直线a垂直；
②过点P有且只有一条直线和直线a平行；
③过点P有且只有一条直线和平面α垂直；
④过点P有且只有一个平面和直线α垂直．
其中正确命题的个数为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

20．已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（　　）

A．

15π

B．

$\frac{15π}{4}$

C．

$\sqrt{15}$ π

D．

6π

19．已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）如果点C满足3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，当k=$\frac{2}{3}$时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC平分线所在直线的方程．

18．如图，直线l：y=-x+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若椭圆的焦距为2，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△OAB的面积；
（Ⅱ）若以A、B为直径的圆经过原点，且椭圆的长轴2a∈[$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$]时，求椭圆离心率取值范围．

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点F₁，F₂与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线F₁P的垂线F₁M相交于点M，求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$为定值．

16．已知直线l：x=my+1过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点F，抛物线：x²=4$\sqrt{3}$y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，点O为坐标原点，椭圆C与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A在第四象限），且$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）定义：以原点O为圆心，$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$为半径的圆称为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O．
证明：|PQ|为定值．

14．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设过点F₁且斜率为-1的直线与椭圆交于第二象限的P点，过P、B、F₁三点的圆为⊙M．是否存在过原点的定直线l与⊙M相切？并请说明理由．