13．已知函数f（x）=xe^x+ax²-x，（a∈R，e为自然对数的底数，且e=2.718…）．
（Ⅰ）若a=-$\frac{1}{2}$，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对于x≥0时，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N^*时，证明：$\frac{e-{e}^{n+1}}{1-e}≥\frac{n（n+3）}{2}$．

12．已知函数f（x）=ax³+2x-a，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n且n∈N^*，设x_n是函数f_n（x）=nx³+2x-n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一x_n且${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$；
（i i）若b_n=（1-x_n）（1-x_n+1），记S_n=b₁+b₂+…+b_n，证明：S_n＜1．

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点$B（0，\sqrt{3}）$为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F₂，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

10．记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\int_0^n$（2ax+b）dx（a，b常数）．若不等式a_n²+$\frac{{S_{n}^2}}{{n{^2}}}$≥ma₁²对任意的数列{a_n}及任意正整数n都成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．

$（-∞，\frac{1}{2}]$

B．

$[{\frac{1}{5}，\frac{1}{2}}]$

C．

$[{\frac{1}{5}，+∞}）$

D．

$（-∞，\frac{1}{5}]$

9．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{24}+\frac{{y{\;}^2}}{12}$=1，设R（x₀，y₀）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作两条切线，切点分别为P，Q．
（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k₁，k₂，求证：2k₁k₂+1=0．

8．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过A于AF₂垂直的直线交x轴于Q点，且$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q，F₁三点的圆恰好与直线x+$\sqrt{3}$y+10=0相切，求椭圆C的方程；
（3）过F₁的直线l与（2）中椭圆交于不同的两点M、N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

7．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周长为4．
（1）当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，求直线BA₁与平面A₁CD所成角；
（2）线段A₁C上是否存在一点P，使得A₁C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

6．已知双曲线与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$有相同的焦点，且以$x+\sqrt{2}y=0$为其一条渐近线，则双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$，过其右焦点且长为4的弦有3条．

5．已知椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右顶点P（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆O的方程；
（2）设A、B、M是椭圆上的三点，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，点N为线段AB的中点，C、D两点的坐标分别为（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）、（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），求证：|NC|+|ND|=2$\sqrt{2}$．

4．平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足$\overrightarrow{OC}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0）交于两点M，N，且以MN为直径的圆过原点，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$为定值；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求椭圆长轴长的取值范围．