已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，y₀）是坐标平面内一点，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，-

1

3

)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y=f(x)=ax2+

101

50

x-bln

x

10

，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润=旅游增加值-投入）

如图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角M-NC-B的余弦值．

“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆•贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆•贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证，假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆•贵宾厅”的概率均为

1

4

，陶艺入选“中国馆•贵宾厅”的概率为

1

3

．
（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆•贵宾厅”的概率；
（2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆•贵宾厅”的作品件数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

已知向量

a

=(sinx，2

3

sinx)，

b

=(2cosx，sinx)，定义f(x)=

a•

b

- 

3

．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x+θ）（0＜θ＜π）为偶函数，求θ的值．

已知M是△ABC内的一点（不含边界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
（1）x+y+z=；
（2）定义f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

，则f（x，y，z）的最小值是 ．

0

若曲线C₁：θ=

π

6

（ρ∈R）与曲线C₂：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数，a为常数，a＞0）有两个交点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为 ．

正三棱柱的底面边长为2

3

cm，高为2cm，则它的外接球的表面积为 cm²．（结果保留π）