设x，y∈R，且x+y=4，则5^x+5^y的最小值是．

已知函数f（x）=

1+x

a(1-x)

lnx．
（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x是偶函数．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）若a＞0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值．

下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n个图有a_n个树枝，则a_n+1与a_n（n≥2）之间的关系是．

设f(x)=

lnx-1

lnx+1

，若f（x₁）+f（ex₂）=1（其中x₁＞e，x₂＞e），则f（x₁x₂）的最小值为（　　）

已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是单调减函数，求a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底）．

为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本y（元）与处理废气量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=

1 16 x3+1000， x∈[10，40) 2x2-130x+5000， x∈[40，70]

，且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品．
（1）当工厂日处理废气量x∈[40，70]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？
（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？

数列{a_n}是公比大于1的等比数列，a₂=6，S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列．设第n个等差数列的前n项和是A_n．求关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（1）求证：OE∥平面PDC；
（4）求证：平面PBD⊥平面ABCD．