已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的

2

倍，且椭圆C经过点M(2，

2

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=

8

3

上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：

OA

•

OB

为定值．

（2003•东城区二模）已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2，（n∈N），又a₅=11．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测出{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（Ⅱ）设b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求

lim

n→∞

Sn

Sn′

的值；
（Ⅲ）设C_n=

1

n(1+an)

（n∈N），T_n=C₁+C₂+…+C_n，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有T_n＞

m

32

？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

（2003•东城区二模）已知抛物线C₁：y²=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C₁的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为

2

，过抛物线C₁的焦点F作倾斜角为

π

4

的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C₁于一点Q（点Q在x轴下方）．
（Ⅰ）求点P和Q的坐标；
（Ⅱ）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程；
（Ⅲ）设点A（t，0）（常数t＞4），当a在闭区间〔1，2〕内变化时，求△APQ面积的最大值，并求相应a的值．

（2003•东城区二模）某城市为了改善交通状况，需进行路网改造．已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数．设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为μ=

1

2(1+β)

．
（Ⅰ）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式：
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围；
（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比P最高时，问原有道路标段为多少个？

（2003•东城区二模）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为C₁D₁与AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线BD₁，与CF所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A₁-FC-D的大小．

（2003•东城区二模）已知sin2x+sin2x•sinx+cos2x=1，x∈(0，

π

2

)，求tg2x的值．

（2003•东城区二模）将三棱锥P-ABC（如图甲）沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙的形状，其中P₁，B，P₂共线，P₂，C，P₃共线，且P₁P₂=P₂P₃，则在三棱锥P-ABC中，PA与BC所成的角的大小是．

（2003•东城区二模）圆锥的侧面积为

2

3

π，侧面展开图的圆心角为

4

3

π，则此圆锥的体积为（　　）

（2003•东城区二模）已知集合A=R，B=R⁺，f：A→B是从集合A到B的一个映射，若f：x→2x-1，则B中的元素3的原象为（　　）

（2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），过其左焦点F₁（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）若

OP

+

OQ

与

a

=（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-

1

2

=0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．