选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

1 -1

2 4

，设向量

β

=

7 4

，试计算A5

β

的值．

某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为

1

2

ln(2x+1)万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx万美元．
（1）若某时段的美元贬值指数m=

1

200

，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为

1

20

x万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知(ln(2x+1))′=

2

2x+1

）．

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
（1）设

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，求证△ABC是等腰三角形；
（2）设向量

s

=(2sinC，-

3

)，

t

=(cos2C，2cos2

C

2

-1)，且

s

∥

t

，若sinA=

12

13

，求sin(

π

3

-B)的值．

在△ABC中，已知内角A=

π

3

，边BC=2

3

，则△ABC的面积S的最大值为．

已知函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数g(x)=|ex-a|+

a2

2

．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为

3

2

，则a=．

某地区有3个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选择哪一天是等可能的），假定各个工厂的选择互不影响，则这3个工厂选择同一天停电的概率为．

在边长为1的正方形ABCD中，设

AB

=

a

，

BC

=

b

，

AC

=

c

，则|

b

-

a

-

c

|=．

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A（x₀，y₀）（x₀≠0）是抛物线C上的一定点．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．