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如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，其中AB=

2

2

，DC=

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，AD=1，AD⊥AB，顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDB；
（Ⅲ）若PA=PC=1，求三棱锥P-DBF的体积．

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如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，PA=AD=AB=1．
（1）证明：BE∥平面PAD；
（2）证明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱锥E-PBD的体积．

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如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE⊥平面BCD（如图2）．
（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM∥面ABE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

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已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．

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已知四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，E是棱SC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面SAB；
（Ⅱ）求三棱锥S-BED的体积．

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已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，A₁在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：
（1）联结BC₁，若BC1=2

2

，求异面直线AA₁与BC₁所成角的大小；
（2）联结A₁C、A₁B，求四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积．

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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=

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，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（I）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱锥C₁-ABC的体积．