(12分)如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有升水，桶2是空的，分钟后桶1中剩余的水符合指数衰减曲线（其中是常数，是自对数的底数）．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求：

（Ⅰ）桶2中的水与时间的函数关系式； 

（Ⅱ）再过多少分钟，桶1中的水是?

（07年全国卷Ⅰ理）已知数列中，，，

（Ⅰ）求的通项公式；www.xkb123.com

（Ⅱ）若数列中，，，，证明：，

（08年湖南六校联考文） 由坐标原点向曲线引切线，切于以外的点再由引此曲线的切线；切于以外的点，如此进行下去，得到点列

       （1）写出与的关系式；

       （2）求数列的通项公式．

已知幂函数的图象不过原点，则的值为（    ）

A．6    B．3    C．3或6    D．3或0

（14分）已知等差数列满足；又数列满足+…+，其中是首项为1，公比为的等比数列的前项和。

   （I）求的表达式；

   （Ⅱ）若，试问数列中是否存在整数，使得对任意的正整数都有成立？并证明你的结论。

（08年湖南六校联考文） 由坐标原点向曲线引切线，切于以外的点再由引此曲线的切线；切于以外的点，如此进行下去，得到点列

       （1）写出与的关系式；

       （2）求数列的通项公式．

（14分）已知是实数，函数

   （I）若，求的值及曲线在点（）处的切线方程；

   （Ⅱ）求在区间[1，4]上的最大值。

（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程是，过点的直线与抛物线C相交于不同的两点A，B

   （I）求抛物线C的方程及直线的斜率的取值范围；

   （Ⅱ）求（用表示）

（12分）如图，已知三棱锥中，面ABC，其中正视图为

，俯视图也为直角三角形，另一直角边长为。

   （I）画出侧视图并求侧视图的面积；

   （Ⅱ）证明面面PAB；

   （Ⅲ）求直线PC与底面ABC所成角的余弦值。

（12分）甲袋中装有1个红球，2个白球个3个黑球，乙袋中装有2个红球，2个白球和一个黑球，现从两袋中各取1个球。

   （I）求恰有1个白球和一个黑球的概率；

   （Ⅱ）求两球颜色相同的概率；

   （Ⅲ）求至少有1个红球的概率。