（08年唐山一中二模）（12分） 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D为侧面ABB₁A₁的中心，E为BC的中点．

（1）求证：平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；

（2）求异面直线A₁B与B₁E所成的角；

（3）求点C₁到平面DB₁E的距离．

（08年唐山一中二模）（12分） 盒中装有8个乒乓球，其中6个是没有用过的，2个是用过的.

（1）从盒中任取2个球使用，求恰好取出1个用过的球的概率；

（2）若从盒中任取2个球使用，求取出的两个球至少有一个没用过的概率．

（08年唐山一中二模）（10分） 已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)、B(0.4)、C(3cosα,3sinα)

(Ⅰ)若，且．求角α的值；

(Ⅱ)若，求的值．

（08年唐山一中二模）（10分） 已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)、B(0.4)、C(3cosα,3sinα)

(Ⅰ)若，且．求角α的值；

(Ⅱ)若，求的值．

（06年湖南卷理）（14分）

 已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦

过椭圆的右焦点 .

  (Ⅰ) 当, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上;

  (Ⅱ) 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理由 .

（06年湖南卷理）（14分）

对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:

为, 要求清洗完后的清洁度为.  有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗;   方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,

其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

（06年湖南卷理）（14分）

 已知函数, 数列满足: ,

   证明 (Ⅰ)  ;  

(Ⅱ)  .

（06年湖南卷理）（14分）

 已知函数, 数列满足: ,

   证明 (Ⅰ)  ;  

(Ⅱ)  .

如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2,

(Ⅰ) 证明:  ;    

(Ⅱ) 求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ) 求点到平面的距离.

（06年湖南卷）（14分）

如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2,

(Ⅰ) 证明:  ;     (Ⅱ) 求异面直线所成的角;

(Ⅲ) 求点到平面的距离.