(本题满分16分)

设f(x)＝x³，等差数列{a_n}中a₃＝7，，记S_n＝，令b_n＝a_nS_n，数列的前n项和为T_n．

（1）求{a_n}的通项公式和S_n；                  

（2）求证：T_n＜；

（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）

已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若，令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由．

已知项和，向量=_______     .

（本小题满分12分）

已知数列{a_n}的前n项和，数列满足，且=

(I)求数列和的通项公式；

(II)若，求数列的前n项和，

（本小题满分12分）

      已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的．   

 （1）求数列与的通项公式；

（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值。

（本小题满分12分）

已知数列中，，，其前项和满足；数列中，，.

（1）求数列_、的通项公式；

（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．

（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分．

某同学将命题“在等差数列中，若，则有（）”改写成：“在等差数列中，若，则有（）”，进而猜想：“在等差数列中，若，则有（）.”

（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；

（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明.

（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列，请你写出相应的命题，并给予证明.

已知函数满足，，且，

则数列{f(n)}的前20项的和为（    ）

  A.305                   B.315          C.325        D.335

各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是___________.

（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，且满足

（Ⅰ）求的值；  

（Ⅱ）求数列的通项公式.