（本小题满分14分） 设为非负实数，函数．

       （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

       （Ⅱ）讨论函数的零点个数，并求出零点．（Ⅲ）当时，，试求的最大值，并求取得最大值时的表达式。

（本题满分15分）已知函数，若存在使得恒成立，则称  

是的一个“下界函数” ．

  （I）如果函数（为实数）为的一个“下界函数”，求的取值范围；

（II）设函数，试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．

对于函数，若存在区间（其中），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①；②；③；④．其中存在“稳定区间”的函数有__________ (填出所有满足条件的函数序号) ．

（本小题满分14分）  已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）比较与e的大小（，e是自然对数的底数）；

（Ⅲ）对于函数和定义域上的任意实数，若存在常数，，使得不等式和都成立，则称直线是函数和的“分界线”．设函数，，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出常数，的值．若不存在，说明理由．

（本小题满分14分）  已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，若函数在上单调递减，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）已知，，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求．

(本小题满分12分)

设函数，的一个极值点是X = 3..

(I)求a与b的关系式（用a表示b,并求的单调区间；
(11)设a>0，若存在使得成立，求a的取值范围.

(本小题满分12分）

已知函数，

(I )要使在（0, 1)上单调递增，求a的取值范围；

(II) 当a〉0时，若函数的最小值和最大值分别为1、，试求函数的解析式_；

III 若时，图像上任意一点处的切线倾斜角为，当.时,求a的取值范围

（本题满分12分）已知函数，g (x) =－6x + ln x³（a≠0）．

（Ⅰ）若函数h (x) = f (x)－g (x) 有两个极值点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g (x) = x f ′(x)－3（2a + 1）x  无实数解？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．

（本题满分12分）已知函数，x∈R．

（1）当m =－1时，求函数y = f (x) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；

（2）设f ′(x) 是函数y = f (x) 的导数，当函数y = f ′(x) 的图象在（－1，5）上与x轴有唯一的公共点时，求实数m的取值范围．

(本小题满分13分)

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。

（Ⅰ）求证：     

(Ⅱ)  求证：

（III）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。