（本小题满分12分）

   在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.

（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；

（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

（本小题满分12分）

    某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

       （Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；

       （Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。

（本小题满分12分）

  甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．

 (1)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

 (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分数的概率分布和数学期望．

（本小题满分12分）

     在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；

   （1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

   （2）设在该次比赛中，甲队得分为的分布列和数学期望。

（本小题满分12分）

    在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

（本小题满分13分）

袋中装有大小形状完全相同的3个黑球和2个白球，现先掷一粒特制的骰子一次（质地均匀的小正方体的六个面中，1个面标有数字1，2个面标有数字2，3个面标有数字3），掷到点数为几，就从袋中取出几个球，（例如掷到2点，则从袋中取出2个球）.

（Ⅰ）求取到的球都是白球的概率；

（Ⅱ）设取到黑球的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

（本题满分12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立．

（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列与方差．

（本小题满分12分）

甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码，设随机变量

（1）求的概率；

（2）求随机变量的分布列及数学期望.

（本小题满分12分）

随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（III）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？

（本题满分12分）甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分.已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为.

（Ⅰ）求甲恰好得30分的概率；

（Ⅱ）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；