(本题满分12分)

如图，已知长方体底面为正方形，为线段的中点，为线段的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）设的中点，当的比值为多少时，并说明理由.

（本小题满分13分）

已知，在水平平面上有一长方体绕旋转得到如图所示的几何体．

(Ⅰ)证明：平面平面；

（Ⅱ）当时，直线与平面所成的角的正弦值为，求的长度；

（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面与平面所成的角为，长方体的最高点离平面的距离为，请直接写出的一个表达式，并注明定义域．

（本小题满分12分）

已知，在水平平面上有一长方体绕旋转得到如图1所示的几何体．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）当时，且长方体体积为4时，求四棱锥体积的最小值．

（本小题满分13分）

        已知某几何体的三视图如图所示，其中分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影，分别是另四个顶点A，B，C，D的投影。

   （I）从①②两个图中选择出该几何体的直观图；

   （II）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

   （III）设平面PAD与平面ABC的交线为，求二面角A——B的大小。

（本小题满分12分）

如图，四直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，

   （I）求证：平面BB₁C₁C；

   （II）在A₁B₁上是否存在一点P，使得DP和平面BCB₁、平面ACB₁都平行？证明你的结论。

（本小题满分13分）

如图，已知平行四边形中，四边形为正方形，平面平面分别是的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面

（Ⅱ）记表示四棱锥的体积.

(ⅰ)求的表达式；

（ⅱ）当取得最大值时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

(13分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，为等边三角形，又平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求的取值范围；

（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是                                           

   ①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；

   ②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；

   ③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；

   ④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直.

   A．1           B．2              C．3                D．4

（本小题满分12分）如图，四棱柱

  中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱

  .

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

（本小题满分12分）

如图3，已知正三棱柱的底面正三角形的边长是2，D是的中点，直线与侧面所成的角是．

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）求点到平面的距离．