（本小题满分12分）

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点。

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；

（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求面积的最大值。

（本小题满分16分）

如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和的中点，已知（为常数），平面上点满足．

⑴求点的轨迹的方程；

⑵若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；

⑶过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程．

（本小题共16分）

已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．

   （1）①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； ②若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；

   （2）设直线与轴、轴分别交于点，，求证：为定值．

（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.

（1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若

曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

（本小题满分14分）

   （如图）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线

       与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

   （1）若，求的值；

   （2）求四边形面积的最大值．

（本大题18分）

（1）已知平面上两定点．，且动点M标满足=0，求动点的轨迹方程；

（2）若把（1）的M的轨迹图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky–3=0 相切，试求实数k的值；

（3）如图，l是经过椭圆长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E．F是两个焦点，点PÎl，P不与A重合。若ÐEPF=，求的取值范围。

并将此题类比到双曲线：，是经过焦点且与实轴垂直的直线，是两个顶点，点PÎl，P不与重合，请作出其图像。若，写出角的取值范围。（不需要解题过程）

（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1, 0）、B（1, 0）, 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2．记动点C的轨迹为曲线W．

       （Ⅰ）求W的方程；

       （Ⅱ）经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，

求k的取值范围；

       （Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

（本题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

   （1）求椭圆的离心率；

   （2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

   （3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由。  

(本小题满分12分)

   已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，椭圆上一点M满足

   （1）求椭圆的方程；

   （2）若直线L：y=与椭圆恒有不同交点A、B，且（O为坐标原点），求k的范围。