成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1,3,9之后又成等比数列，求这三个数。（10分）

（本小题满分12分）
一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍.
（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论；
（2）记为数列的前项的和。当从B口得到399的倒数时，求此时对应的的值.

（本小题满分12分）在数列中，
（1）设，证明数列是等比数列并求数列的通项公式
（2）求数列的前项和

（本小题12分）
已知数列满足,且
① 求的值。
② 求。

（本小题满分12分）
已知数列的通项公式是…+
（I）                   求；
（II）                 设，求数列的前n项和.

（本大题满分12分）
已知数列，的通项公式分别为
（I）                   求证数列｛｝是等比数列；
（II）                 求数列｛｝的前n项和为。

（本小题满分14分）
已知正数数列满足：，其中为数列的前项和．
（1）求数列的通项；
（2）令，求的前n项和T_n.

（本小题满分14分）
已知数列满足, ，．
（1）求证：是等比数列
（2）求数列的通项公式
（3）设，且对于恒成立，求的取值范围

设函数与数列满足关系：(1)  a_1.>a, 其中a是方程的实根，(2) a_n+1= (nN⁺ )  ,如果的导数满足0<<1
（1）证明： a_n>a （2）试判断a_n与a_n+1的大小，并证明结论。 

（本题满分14分）已知数列满足，．
（1）求，，
（2）是否存在一个实数，使得数列成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（3）求数列的前项和