Question

设一条河宽L，水流速度为，船在静水中的速度为．那么：

(1)怎样渡河时间最短?最短时间是多少?

(2)若＜，怎样渡河航程最短?

(3)若＞，怎样渡河船漂下的距离最短?

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成角，这时船速在y方向的速度分量为，渡河所需时间为：． 可以看出：在L与一定时，t随sin的增大而减小；当90°时，sin1(最大)，所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为． (2)如图乙所示，为了使船渡河的航程最短，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，这时船头指向上游，并与河岸成一定的角度，则有：，所以 因为0≤cos≤1，所以只有在＜时，船才有可能垂直河岸渡河． (3)当＞，则不论船向如何，总被水流冲向下游． 如图丙所示，设船头()与河岸成角，合速度v与河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短． 那么，在什么条件下α角最大呢?以的箭尾为圆心，以的大小为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大．根据得船头与河岸的夹角应为： 船漂的最短距离由得． (1)船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为． (2)当船头指向上游且与河岸成夹角时，船垂直河岸渡河． (3)当船头与河岸成夹角时，船漂的距离最短．

提示：

由于运动的独立性原理，水流方向沿河岸，与过河时间无关，过河时间只与船的实际速度沿垂直河岸方向的分量有关．因此要船最短时间过河，船头应垂直指向对岸，但船的航线并不垂直指向对岸．对于船过河这类问题，一般记住两个结论：①要使过河时间最短，则垂直河岸方向的分速度须最大；②要能垂直到达对岸，则合速度须垂直河岸．