Question

如图所示，在水平 O-xy 坐标平面的第 1 象限上，有一个内外半径几乎同为 R、圆心位于 x=R、y=0 处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度为E，沿着 y 轴方向的匀强电场。带电质点 P 在管道内，从 x=0、y=0 位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为 Eko。P 运动到 x=R、y=R 位置时，其动能减少了二分之一。 

(1)试问 P 所带电荷是正的，还是负的?为什么?

(2)P 所到位置可用该位置的 x 坐标来标定，试在 2R≥x≥0 范围内导出 P 的动能 Ek随 x 变化的函数。 

(3)P 在运动过程中受管道的弹力 N 也许是径向朝里的(即指向圆心的)，也许是径向朝外的 (即背离圆心的)。通过定量讨论，判定在 2R≥x≥0 范围内是否存在 N 径向朝里的 x 取值区域，若存在，请给出该区域；继而判定在 2R≥x≥0 范围内是否存在 N 径向朝外的 x 取值区域，若存在，请给出该区域。   

Answer 1

解析：（1）带电质点 P在管道内无摩擦地运动，设电场力做功W=qER，由动能定理，

W-mgR=- Eko。

解得W= mgR-Eko。

若mgR>Eko，W>0，电场力做正功，P 所带电荷是正的。

若mgR<Eko，W<0，电场力做负功，P 所带电荷是负的。

(2)设P运动到横坐标为x，纵坐标为y，由（x-R）2+y2=R2，可得y=。

由动能定理，(qE-mg) y=Ek-- Eko。

解得：Ek= Eko+(qE-mg)。

（3）若P 所带电荷是正的，根据题述P 运动到 x=R、y=R 位置时，其动能减少了二分之一，可知P所受电场力一定小于重力，

设质点P从开始到运动到纵坐标为y这个范围内所受管道的弹力 N径向朝里，恰好运动到纵坐标为y时所受管道的弹力 N为零，则有，

 (mg-qE)cosθ=mv2/R，

cosθ=y/R

-(mg-qE)y=mv2- Eko。

联立解得：y=

代入（x-R）2+y2=R2，

可得x=R--，x=R+。

在x<R--和x>R+区域范围内存在 N 径向朝里。

在R--<x<R+区域范围内存在 N 径向朝外。

【点评】此题需要通过分析，得出定量关系，讨论得出相关区域范围，难度较大。由于题目已知量都为字母，运算时要认真细致，确保正确。