Question

12．如图所示，两根足够长的光滑导轨MN，PQ与水平面成θ=37°角平行放置，导轨间的宽度为l=0.6m．空间存在垂直导轨面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，导轨上端接一标有“2.5V 1.25W”字样的小灯泡L．一根电阻r=1Ω的金属棒ab垂直导轨油某一位置静止释放，当下滑s=12m时达到稳定速度，此时小灯泡恰能正常发光，已知重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）金属棒的质量m及运动稳定后的速度v；
（2）金属棒下滑s的过程中，通过灯泡L上的电荷量q；
（3）金属棒下滑s的过程中小灯泡所产生的热量Q（设小灯泡电阻不变）．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）根据闭合电路欧姆定律由小灯泡正常发光求得感应电动势的大小从而求得稳定后的速度v，再根据稳定时m的平衡求得m的质量；
（2）根据$Q=\frac{△∅}{R+r}$求得通过小灯泡L的电荷量；
（3）根据能量守恒，金属棒m减小的重力势能等于金属棒增加的动能和回路中产生的热量，再由闭合电路欧姆定律求得小灯泡上产生的热量．

解答 解：（1）金属棒达稳定速度时，小灯泡正常发光，由小灯泡参数知：
回路中电流I=$\frac{P}{U}=\frac{1.25}{2.5}A=0.5A$
小灯泡电阻R=$\frac{U}{I}=\frac{2.5}{0.5}Ω=5Ω$
根据闭合电路欧姆定律可知，金属棒切割磁感线产生的电动势等于回路中的总电压即：
Blv=I（R+r）
得金属棒稳定时的速度v=$\frac{I（R+r）}{Bl}=\frac{0.5（5+1）}{0.5×0.6}m/s=10m/s$
再以金属棒为研究对象，速度稳定后，金属棒处于平衡状态，则根据平衡有：
mgsinθ=BIl
即金属棒的质量m=$\frac{BIl}{gsinθ}=\frac{0.5×0.5×0.6}{10×sin37°}kg=0.025kg$
（2）由题意通过小灯泡的电荷量
q=$\overline{I}•△t$=$\frac{\overline{E}}{R+r}•△t$=$\frac{\frac{△∅}{△t}}{R+r}•△t=\frac{△∅}{R+r}=\frac{Bls}{R+r}=\frac{0.5×0.6×12}{5+1}C$=0.6C
（3）根据能量守恒可知，金属棒减小的重力势能等于电路增加的动能和回路产生的总热量即：
$mgssinθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}+{Q}_{总}$
根据闭合电路欧姆定律可知，灯泡上产生的热量
Q=$\frac{R}{R+r}{Q}_{总}=\frac{R}{R+r}•（mgssinθ-\frac{1}{2}m{v}^{2}）$=$\frac{5}{5+1}×（0.025×10×12×0.6-\frac{1}{2}×0.025×1{0}^{2}）J$=0.46J
（1）金属棒的质量m为0.025kg及运动稳定后的速度v为10m/s；
（2）金属棒下滑s的过程中，通过灯泡L上的电荷量q为0.6C；
（3）金属棒下滑s的过程中小灯泡所产生的热量Q为0.46J．

点评 本题是力电综合问题，首先要明确电路结构，其次要分析清楚导体棒的受力情况和运动情况，根据安培力公式、欧姆定律、切割公式和平衡条件列式求解．