Question

9．如图所示，滑块可以在水平放置的光滑固定长导轨上自由滑动，小球通过一不可伸缩的轻绳与滑块上的悬点O相连．滑块和小球的质量分别为m和2m，轻绳长为l，开始时，小球与滑块静止，且处于图示位置，轻绳呈水平拉直状态．
（1）将小球由静止释放，若小球到达最低点时滑块刚好被一表面涂有强黏性物质的固定挡板极快地粘住．求：
（1-1）小球继续向左摆动达到最高点时，轻绳与竖直方向的夹角．
（1-2）挡板对滑块的冲量．
（1-3）小球从释放到第一次达到最低点的过程中，轻绳拉力对小球做的功．
（2）将小球由静止释放，若长轨道上无挡板，求小球在下落过程中速率的最大值．（本题可用TI图形计算器）

Answer 1

分析 （1）（1-1）小球由静止释放后的过程中，小球与滑块组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，系统的机械能也守恒，由此列式求解小球到达最低点时的速度．小球到达最低点时滑块刚好被挡板极快地粘住，之后小球继续向左摆动达到最高点时，由机械能守恒定律求轻绳与竖直方向的夹角．
（1-2）由动量定理求挡板对滑块的冲量．
（1-3）由动能定理求轻绳拉力对小球做的功．
（2）若长轨道上无挡板，由动量守恒定律、机械能守恒定律和速度关系列式求解．

解答 解：（1-1）小球与滑块组成的系统水平方向无外力动量守恒，设小球与滑块达到最低点的速度分别为v₁、v₂，取水平向左为正方向，在小球下摆过程，由动量守恒定律有：
  2mv₁+mv₂=0，得 2v₁=-v₂．
由机械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=2mgl，
解得：v₁²=$\frac{2}{3}$gl，v₂=-2$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$
小球上摆的过程，由机械能守恒定律有：
    $\frac{1}{2}$•2mv₁²=2mgl（1-cosθ），
解得：cosθ=$\frac{2}{3}$，θ=cos^-1$\frac{2}{3}$
（1-2）对滑块，由动量定理有 I=0-mv₂=2m$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$
（1-3）对小球，由动能定理得
-W=2mgl-$\frac{1}{2}$•2mv₁²，W=-$\frac{4}{3}$mgl
（2）设小球下落到绳与导轨夹角为α时，速度为v，其水平分速度为v₁，竖直分速度为v₂，此时滑块速度为v₃，由水平方向动量守恒得：
  2mv₁+mv₃=0，v₃=-2v₁
沿绳方向两端速度相等得：v₂sinα-v₁cosα=v₃cosα，
解得：v₂=3v₁cotα，
再由机械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₃²+$\frac{1}{2}$•2m（v₁²+v₂²）=2mglsinα，
解得：v₁²=$\frac{2glsi{n}^{3}α}{3si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}$
v²=v₁²+v₂²=2glsinα$\frac{si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}{3si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}$
利用图形计算器的函数功能，可以得：α=51.38°，v_max=1.098$\sqrt{gl}$
答：（1-1）小球继续向左摆动达到最高点时，轻绳与竖直方向的夹角是cos^-1$\frac{2}{3}$．
（1-2）挡板对滑块的冲量是2m$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$．
（1-3）小球从释放到第一次达到最低点的过程中，轻绳拉力对小球做的功是-$\frac{4}{3}$mgl．
（2）将小球由静止释放，若长轨道上无挡板，小球在下落过程中速率的最大值是1.098$\sqrt{gl}$．

点评 本题关键要抓住滑块被挡板粘住前系统的水平方向动量守恒，系统的机械能守恒、滑块被挡板粘住后小球的机械能守恒，滑块与挡板碰撞前后，小球的速度不变．